CREATESPACE Ecuaciones de Laplace y Helmholtz: solución detallada y ortogonalidad y completitud de las soluciones Volumen II (Física del Espacio-Tiempo – Colección Completa)

El objeto de este libro es la solución detallada de las ecuaciones de Laplace y de Helmholtz, con un interés muy especial en el estudio de la ortogonalidad, normalización y completitud de las soluciones. En este libro aparecen con todo detalle y de modo práctico los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales en general, tales como la separación de variables, la resolución por series de potencias o el método de Frobenius, y los métodos particulares para la resolución de otras ecuaciones tales como las de Bessel, Legendre, Laguerre, Schroedinger, la hipergeométrica o la de Sturm-Liouville. Se explican y se muestran de modo práctico toda una serie de herramientas matemáticas, desde las más sencillas a las más complicadas, como el teorema del binomio, los cambios de índices en sumatorios, las simplificaciones de expresiones mediante técnicas que van desde las más evidentes a las más ingeniosas, las demostraciones por inducción, los criterios de convergencia para series, incluyendo las series de potencias y su radio de convergencia, la fórmula de Leibniz, la integración por partes, el producto interno de funciones, la extensión analítica de una función, el desarrollo en serie de Taylor, MacLaurin y Laurent, la transformada de Laplace y de Fourier, el método “steepest descent”, el cambio de variable de integración, las integrales de funciones de variable compleja, entre las que podemos citar las de Euler, Hankel, Weber y Schafheitlin, o la de Barnes, a lo largo de contornos de diversa índole, incluyendo los de Hankel y Pochhammer, abordando el estudio de la convergencia de dichas integrales e involucrando directamente el teorema del residuo o el teorema integral de Cauchy, entrando en el estudio, más o menos extenso, de otras funciones, como la función exponencial y logarítmica, los polinomios de Bernoulli, la fórmula de Rodrigues, los polinomios de Legendre y Laguerre, la función gamma (lo que implica un estudio de la fórmula de Stirling y ésta de la fórmula de Euler-MacLaurin), la función gamma recíproca, la función digamma, la función beta, las funciones hipergeométricas), y se abordan con especial atención aspectos tales como la ortogonalidad, normalización y completitud de las soluciones de las ecuaciones de Laplace, Lagrange y Helmholtz, en las cuales se ve involucrada la teoría de Sturm-Liouville y el espacio de Hilbert. El problema de la solución de las ecuaciones de Laplace y Helmholtz, así como el estudio de la ortogonalidad y completitud de las soluciones, se ha dividido en dos volúmenes. El primer volumen se dedica a las ecuaciones de Laplace y Helmlholtz en coordenadas esféricas, así como su ortogonalidad y normalización, dejando para el segundo volumen el caso de las coordenadas cilíndricas, polares y cartesianas de ambas ecuaciones, y el estudio de la completitud de todas las soluciones obtenidas en ambos volúmenes, abordando para ello el estudio de la teoría de Sturm-Liouville y el espacio de Hilbert. El segundo volumen se complementa con un capítulo dedicado a la resolución de la ecuación de Schroedinger para el átomo de hidrógeno.